Стійкість (динамічні системи)

Диференціальні рівняння
Види рівнянь Звичайні З частинними похідними Лінійні Нелінійні Автономні Алгебраїчні Диференціально-алгебраїчні Інтегро-диференціальні Однорідні Рівняння в повних диференціалах Стохастичні З запізненням
Загальні теми Фазовий простір Інтегральна крива Теорема Пікара — Лінделефа Фазовий портрет Диференціальний оператор Визначник Вронського Стійкість Чисельне інтегрування Фундаментальна матриця
Методи розв'язання Метод характеристик Розділення змінних Знижування порядку Інтегрувальний множник Метод невизначених коефіцієнтів Метод варіації параметрів Метод Ейлера Метод Рунге — Кутти Метод Адамса Метод скінченних різниць Метод Кранка-Ніколсон Метод скінченних елементів Метод Гальоркіна Інтегральне перетворення Теорія збурень
Відомі рівняння Рівняння Лотки-Вольтерри Дивний атрактор Лоренца Рівняння Дуффінга Осцилятор Ван дер Поля Система Хенона-Гейлса Рівняння Ріккаті Хвильове рівняння Рівняння Лапласа Рівняння дифузії Рівняння Бюргерса Рівняння Нав'є — Стокса Рівняння Гамільтона — Якобі Рівняння Коші-Ейлера Рівняння Бернуллі Модель Годжкіна — Гакслі Схема Чуа Атрактор Рьослера Модель Курамото
Математики Ісаак Ньютон Ґотфрід Лейбніц Леонард Ейлер П'єр-Симон Лаплас Жозеф Ліувілль Жозеф-Луї Лагранж Анрі Пуанкаре Рудольф Ліпшиц Олександр Ляпунов Еміль Пікар Карл Рунге Джон Кранк

В математиці, розв'язок диференціального рівняння (або, ширше, траєкторія в фазовому просторі точки стану динамічної системи) називається стійким, якщо поведінка розв'язків з умовами близькими до початкових «не сильно відрізняється» від поведінки вихідного розв'язку. Слова «не сильно відрізняється» при цьому можна формалізувати по-різному, отримуючи різні формальні визначення стійкості: стійкість за Ляпуновим, асимптотичну стійкість і т. д. (див. нижче). Зазвичай розглядається задача про стійкість тривіального розв'язку в особливій точці, оскільки завдання про стійкість довільної траєкторії зводиться до даної шляхом заміни невідомої функції.

Постановка завдання стійкості динамічних систем

Нехай $\Omega$ — область простору $\mathbb {R} ^{n}$, що містить початок координат, $I=[\tau ;\infty )$, де $\tau \in \mathbb {R} ^{1}$. Розглянемо систему (1) виду:

$\left\{{\begin{matrix}{\dot {x}}=f(t,x),x\in \mathbb {R} ^{n},f:I\times \Omega \to \mathbb {R} ^{n}\\f(t,0)=0.\end{matrix}}\right.$ (1)

При будь-яких $(t_{0},x_{0})\in I\times \Omega$ існує єдиний розв'язок x(t, t₀, x₀) системи (1), задовольняюче початковим умовам x(t₀, t₀, x₀) = x₀. Будемо припускати, що розв'язок x(t, t₀, x₀) визначено на інтервалі $J^{+}=[t_{0};\infty )$, причому $J^{+}\subset I$.

Нехай дані також дві динамічні системи:

${\dot {X}}(t)=F(X(t-\tau )),\quad \quad \tau =\mathrm {const} >0;$ (2)

${\dot {X}}(t)=F(X(t-\tau ))+{\mathfrak {F}}(t,X_{t}).$ (3)

Кожен розв'язок $X(t,t_{0},\varphi )$ системи (2) визначається початковими умовами: початковим моментом $t_{0}$ та початковою вектор-функцією $\varphi (\xi ),$ де $X(t_{0}+\xi ,t_{0},\varphi )=\varphi (\xi )$ за $\xi \in [-\tau ,0].$ Для виділених систем (2-3) із запізнюванням функції $\varphi (\xi )$ належать простору $PC[-\tau ,0]$ шматково-неперервних за $\xi \in [-\tau ,0]$ функцій із рівномірною нормою $||\varphi ||_{\tau }={\underset {\xi \in [-\tau ,0]}{\sup }}||\varphi (\xi )||,$ де $||\cdot ||$ — евклідова норма вектора.

Функціонал ${\mathfrak {F}}(t,\varphi )$ заданий й є неперервним у області

$\{t\in \mathbb {E} :t\geq 0\}\times \Omega _{H},$

де $\Omega _{H}$ — множина функцій $\varphi (\xi )\in PC[-\tau ,0],$ які задовільняють умові $||\varphi ||_{\tau }<H,\,\,(H=\mathrm {const} >0).$ Припустимо, у цій області є справедливою оцінка

$||R(t,\varphi )||\leq \beta (||\varphi ||_{\tau }^{\sigma }),\quad \quad \beta >0,\,\,\sigma >0.$

Відтак система (3) має розв'язок $X(t)\equiv 0.$

Стійкість за Ляпуновим

Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається стійким за Ляпуновим, якщо для будь-яких $t_{0}\in I$ і $\varepsilon >0$ існує $\delta >0$, залежне тільки від ε і t₀ і не залежне від t, таке, що для будь-якого x₀, для котрого $\|x_{0}\|<\delta$, розв'язок x системи з початковими умовами x(t₀) = x₀ триває на всю піввісь t > t₀ і задовольняє нерівності $\|x(t)\|<\varepsilon$.

$(\forall \varepsilon >0)(\forall t_{0}\in I)(\exists \delta (t_{0},\varepsilon )>0)(\forall x_{0}\in B_{\delta (t_{0},\varepsilon )})(\forall t\geq t_{0},t\in J^{+})\Rightarrow (\|x(t,t_{0},x_{0})\|<\varepsilon )$.

Нехай задана ще одна система диференціальних рівнянь

${\dot {X}}(t)=F(X(t)),$ (4)

де $X(t)$ — n-вимірний вектор, компоненти векторної функції $F(X)$ визначені й неперервно диференційовані за усіх $X\in \mathbb {E} ^{n}$ та є однорідними функціями порядку $\mu \geq 1.$ Відтак система (4) має розв'язок $X(t)\equiv 0.$

Розгляньмо функцію Ляпунова $V(X),$ яка має наступні властивості:

• $V(X)$ неперервно диференційована;
• $V(X)$ додатно визначена;
• $V(X)$ — однорідна функція порядку $\gamma >1$;
• справедлива рівність $({\frac {\partial V(X)}{\partial X}})^{T}F(x)=-||X||^{\gamma +\mu -1}.$

Диференціюючи систему (4) в силу системи (3) $t\geq 0,\,\,||X_{t}||_{\tau }<H$ маємо

${\dot {V}}|_{(3)}=({\frac {\partial V(X(t))}{\partial X}})^{T}F(X(t))+({\frac {\partial V(X(t))}{\partial X}})^{T}(F(X(t))+R(t,X_{t}))\leq -||X(t)||^{\gamma +\mu -1}+b_{1}||X(t)||^{\gamma -1}(||F(X(t-\tau ))-F(X(t))||+\beta (||X_{t}||_{\tau })^{\sigma }),$

де $b_{1}=\mathrm {const} >0.$ Нехай нульовий розв'язок системи (4) є стійким. Якщо виконується нерівність $\sigma >\mu >1,$ то нульовий розв'язок системи (3) є асимптотично стійким за будь-якого значення $\tau >0.$

Рівномірна стійкість за Ляпуновим

Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається рівномірно стійким за Ляпуновим, якщо δ з попереднього визначення залежить тільки від ε:

$(\forall \varepsilon >0)(\exists \delta (\varepsilon )>0)(\forall t_{0}\in I)(\forall x_{0}\in B_{\delta (\varepsilon )})(\forall t\geq t_{0},t\in J^{+})\Rightarrow (\|x(t,t_{0},x_{0})\|<\varepsilon )$

Нестійкість за Ляпуновим

Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається нестійким за Ляпуновим, якщо:

$(\exists \varepsilon >0)(\exists t_{0}\in I)(\forall \delta >0)(\exists x_{0}\in B_{\delta })(\exists t_{*}\geq t_{0},t_{*}\in J^{+})\Rightarrow (\|x(t_{*},t_{0},x_{0})\|\geq \varepsilon )$

Асимптотична стійкість

Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається асимптотично стійким, якщо він стійкий за Ляпуновим і виконується умова$\lim _{t\to \infty }\|x(t_{*},t_{0},x_{0})\|=0$ для всякого x з початковою умовою x₀, що лежить у досить малому околі нуля.

Еквіасимптотична стійкість

Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається еквіасимптотично стійким, якщо він рівномірно стійкий і рівномірно притягальний.

Рівномірна асимптотична стійкість

Тривіальний розв'язок системи (1) називається рівномірно асимптотично стійким, якщо він стійкий і еквіпритягальний.

Асимптотична стійкість в цілому

Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається асимптотично стійким у цілому, якщо він стійкий і глобальнопритягальний.

Рівномірна асимптотична стійкість в цілому

Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається рівномірно асимптотично стійким у цілому, якщо він рівномірно стійкий і рівномірно-глобальнопритягальний.

Див. також

• Теорема Лагранжа про стійкість рівноваги
• Критерій Андронова — Понтрягіна

Література

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 400+ с.(укр.)
• Беллман, Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений : [рос.]. — М. : Издательство иностранной литературы, 1954.
• Четаев, Н. Г. Устойчивость движения : [рос.]. — 4-е изд., испр.. — М. : Наука, 1990. — 176 с. — ISBN 5-02-014018-X.
• Красовский, Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения : [рос.]. — М. : Физматгиз, 1959.
• Малкин И. Г. Теория устойчивости движения : [рос.]. — 2-е изд., испр.. — М. : Наука, 1966.
• Демидович, Б. П. Лекции по математической теории устойчивости : [рос.]. — М. : Наука, 1967. — 472 с.
• Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Математическая теория конструирования систем управления : [рос.]. — 3-е изд., испр. и доп.. — М. : Высшая школа, 2003. — 614 с. — ISBN 5-06-004162-X.
• Филиппов, А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. — Изд. 2-е. — Эдиториал УРСС, 2007. — 240 с. — ISBN 978-5-484-00786-8.
• Руш, Н., Абетс, П., Лалуа, М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. — М. : Мир, 1980.